已知为函数图象上一点,为坐标原点,记直线的斜率.
(1)若函数在区间上存在极值,求实数的取值范围;
(2)当 时,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(3)求证:.
(1);(2);(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:本题主要考查导数的应用、不等式、数列等基础知识,考查思维能力、运算能力和思维的严谨性.第一问,考查求导求极值问题;第二问,是恒成立问题,将第一问的代入,整理表达式,得出,构造函数,下面的主要任务是求出函数的最小值,所以;第三问,是不等式的证明,先利用放缩法构造出所证不等式的形式,构造数列,利用累加法得到所证不等式的左边,右边利用裂项相消法求和,再次利用放缩法得到结论.
试题解析:(1)由题意,,所以 2分
当时,;当时,.
所以在上单调递增,在上单调递减,故在处取得极大值.
因为函数在区间(其中)上存在极值,
所以,得.即实数的取值范围是. 4分
(2)由得,令,
则. 6分
令,则,
因为所以,故在上单调递增. 8分
所以,从而
在上单调递增,
所以实数的取值范围是. 10分
(3)由(2) 知恒成立,
即 12分
令则, 14分
所以, , ,.
将以上个式子相加得:,
故. 16分
考点:1.函数极值的求法;2.恒成立问题;3.求函数的最值;4.放缩法;5.裂项相消法.
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已知函数满足对任意实数都有成立,且当时,,.
(1)求的值;
(2)判断在上的单调性,并证明;
(3)若对于任意给定的正实数,总能找到一个正实数,使得当时,,则称函数在处连续。试证明:在处连续.
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已知函数的图像与函数h(x)=x++2的图像关于点A(0,1)对称.
(1) 求的解析式;
(2) 若,且g(x)在区间[0,2]上为减函数,求实数a的取值范围.
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某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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渔场中鱼群的最大养殖量是m吨,为保证鱼群的生长空间,实际养殖量不能达到最大养殖量,必须留出适当的空闲量。已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率乘积成正比,比例系数为k(k>0).
写出y关于x的函数关系式,指出这个函数的定义域;
求鱼群年增长量的最大值;
当鱼群的年增长量达到最大值时,求k的取值范围.
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已知二次函数的导函数的图像与直线平行,且在处取得极小值.设.
(1)若曲线上的点到点的距离的最小值为,求的值;
(2)如何取值时,函数存在零点,并求出零点.
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