Question

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b=a+c，且A-C=90°，则cosB=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理、余弦定理，诱导公式求得sinB=sin（90°-2C）=cos2C，再利用二倍角的余弦公式求得sin2C=$\frac{3}{4}$，从而求得cosB=sin2C 的值．

解答 解：在△ABC中，∵2b=a+c，∴2sinB=sinA+sinC，
∵A-C=90°，∴2sinB=sin（90°+C）+sinC=cosC+sinC．
再根据A+B+C=180°，可得B=180°-A-C=90°-2C，∴sinB=sin（90°-2C）=cos2C，
∴2cos2C=cosC+sinC，即 2（cosC+sinC ）（cosC-sinC ）=cosC+sinC，
根据C为锐角，可得cosC-sinC=$\frac{1}{2}$，∴1-sin2C=$\frac{1}{4}$，即sin2C=$\frac{3}{4}$，
则cosB=cos（90°-2C）=sin2C=$\frac{3}{4}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦定理、余弦定理，诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．