Question

12．角A、B、C是△ABC的内角，C=$\frac{π}{2}$，A＜B，向量$\overrightarrow{a}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，sinA），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{7}{5}$，
（1）求sinA的值；
（2）求cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式求得sinA+cosA=$\frac{7}{5}$，再利用同角三角函数的基本关系求得sinA和cosA的值．
（2）由A+B=$\frac{π}{2}$，利用诱导公式、二倍角公式化简cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$为$\frac{1}{2}$+$\frac{cosA+sinA}{2}$，从而求得结果．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（2cosA，1），$\overrightarrow{b}$=（$\frac{1}{2}$，sinA），且$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=$\frac{7}{5}$，∴sinA+cosA=$\frac{7}{5}$…①，
又sin²A+cos²A=1 …②； 
由①②得：sinA=$\frac{3}{5}$，或sinA=$\frac{4}{5}$，又C=$\frac{π}{2}$，A＜B，故0＜A＜$\frac{π}{4}$，sinA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴sinA=$\frac{3}{5}$，cosA=$\frac{4}{5}$．
（2）∵A+B=$\frac{π}{2}$，∴cos²（$\frac{π}{4}$-$\frac{B}{2}$）+sin$\frac{A}{2}$cos$\frac{A}{2}$=$\frac{1+cos（\frac{π}{2}-B）}{2}$+$\frac{1}{2}$sinA=$\frac{1}{2}$+$\frac{cosA+sinA}{2}$=$\frac{6}{5}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于中档题．