Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n=2a_n-n（n∈N^*）．
（1）求证{a_n+1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项；
（3）若{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}（{a}_{n+1}-1）}$，设{b_n}的前n项和为T_n，证明：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n=2a_n-n（n∈N^*），可得：当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，变形为a_n+1=2（a_n-1+1），即可证明．
（2）由（1）利用等比数列的通项公式可得a_n=2ⁿ-1．
（3）b_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，利用“裂项求和”与“放缩法”即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-n（n∈N^*），∴当n=1时，a₁=2a₁-1，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-n）-[2a_n-1-（n-1）]，化为a_n+1=2（a_n-1+1），
∴{a_n+1}为等比数列，首项为2，公比为2．
（2）解：由（1）可得：1+${a}_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
（3）证明：b_n=$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n+1}（{a}_{n+1}-1）}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-1）（{2}^{n+1}-2）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$＜1，
∴T_n＜1．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”与“放缩法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．