Question

15．如图是一平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为BC延长线上一点，$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{CE}$，则$\overrightarrow{{D_1}E}$=（　　）

• A． $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A_1}}$
• B． $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A_1}}$
• C． $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A_1}}$
• D． $\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{A{A_1}}$

Answer 1

分析 取BC的中点F，连接A₁F，则四边形A₁D₁EF是平行四边形，$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\overrightarrow{{D}_{1}E}$；用$\overrightarrow{{A}_{1}A}$、$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{{A}_{1}F}$即可．

解答 解：如图所示，取BC的中点F，连接A₁F，

则A₁D₁∥FE，且A₁D₁=FE，
∴四边形A₁D₁EF是平行四边形，
∴A₁F∥D₁E，且A₁F=D₁E，
∴$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\overrightarrow{{D}_{1}E}$；
又$\overrightarrow{{A}_{1}F}$=$\overrightarrow{{A}_{1}A}$+$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BF}$=-$\overrightarrow{{AA}_{1}}$+$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{{D_1}E}$=$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{{AA}_{1}}$．
故选：B．

点评 本题考查了空间向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．