Question

13．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$的最小值为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Answer 1

分析 建立坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），用α，t表示出$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$，利用三角函数的性质和α，t的范围求出最小值．

解答 解；分别以OA，OB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），则0≤t≤1，0≤α≤$\frac{π}{2}$，M（0，$\frac{1}{2}$），
∴$\overrightarrow{PM}$=（-cosα，$\frac{1}{2}$-sinα），$\overrightarrow{PN}$=（t-cosα，-sinα）．
∴$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=-（t-cosα）cosα-sinα（$\frac{1}{2}$-sinα）=cos²α+sin²α-tcosα-$\frac{1}{2}$sinα=1-$\sqrt{{t}^{2}+\frac{1}{4}}$sin（α+φ）．
其中tanφ=2t，∵0≤α≤$\frac{π}{2}$，0≤t≤1，
∴当α+φ=$\frac{π}{2}$，t=1时，$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$取得最小值1-$\sqrt{\frac{5}{4}}$=1-$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．