Question

13．若函数f（x）=x²+a|x-1|在[-1，+∞）上单调递增，则实数a的取值的集合是{-2}．

Answer 1

分析 去绝对值号可得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a}&{x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a}&{x＜1}\end{array}\right.$，由条件f（x）在[-1，+∞）上单调递增，从而得出f（x）在[1，+∞），[-1，1）上都单调递增，这样根据二次函数的单调性便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤1}\\{\frac{a}{2}≤-1}\end{array}\right.$，从而得到a=-2，这样即可得出实数a的取值的集合．

解答 解：$f（x）={x}^{2}+a|x-1|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a}&{x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∵f（x）在[-1，+∞）上单调递增；
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∴$-\frac{a}{2}≤1$，即a≥-2；
且f（x）在[-1，1）上单调递增，∴$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2；
∴a=-2；
∴实数a的取值的集合是{-2}．
故答案为：{-2}．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，以及二次函数的单调性，二次函数的对称轴的求法．