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    【题目】如图所示，直角梯形公园中，，，，公园的左下角阴影部分为以为圆心，半径为的圆面的人工湖，现设计修建一条与圆相切的观光道路（点分别在与上），为切点，设.

    （1）试求观光道路长度的最大值；

    （2）公园计划在道路的右侧种植草坪，试求草坪的面积最大值.

    【答案】（1）（2）平方千米

    【解析】

    （1）求出，分别求出，，从而求出的表达式，求出的最大值即可；

    （2）求出的表达式，求出函数的导数，根据函数的单调性求出的最大值即可．

    解：（1）由题意可知，

    在中，，

    在中，，

    则，

    又因为，所以当时，，

    此时，故的最长值为；

    （2）在中，，由（1）得，

    则

    则，令即，解得，

    当单调递增；当单调递减，

    所以为函数的极大值，又函数在区间极大值唯一，因此这个极大值也是函数的最大值.

    ，

    所以草坪面积最大值为平方千米.

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