Question

【题目】已知函数f（x）＝mx3+x﹣sinx（m∈R）．

（1）当m＝0时，（i）求y＝f（x）在（，f（））处的切线方程；

（ii）证明：f（x）＜ex；

（2）当x≥0时，函数f（x）单调递减，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（i）（ii）见解析（2）

【解析】

(1)(i) 根据导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即可得结果；(ii ) 当时，原命题等价于，结合，即证，令，利用异数研究其单调性，可得，从而可得结论；(2)依题意在上恒成立，令，求导，令，利用导数研究其单调性可，通过对分类讨论，即可筛选出符合题意的取值范围.

（1）当时，.

（i）,,

,

在处的切线方程为 ，

即.

（ii）原命题等价于，

，即证，

令，则，

当时，单调递增；

当时，单调递减，

，

，取等号条件不一致，

，

.

（2）依题意，在时恒成立，

令，则，

当时，，.

（i）当时，单调递减，

，即，符合题意.

（ii）当时，，不符合题意，舍去.

（iii）当时，令，则，

由，

，

，使，

所以当时，在单调递增，

所以当时，，即，

所以当时，在上单调递增，

，即，不符合题意，舍去，

故.