Question

7．x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{2}$，则xy的最小值是9．

Answer 1

分析 由已知式子变形可得xy=x+y+3，由基本不等式可得xy≥2$\sqrt{xy}$+3，解关于$\sqrt{xy}$的一元二次不等式可得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{y+1}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{y+1+x+1}{（x+1）（y+1）}$=$\frac{1}{2}$，整理可得xy=x+y+3，
由基本不等式可得xy=x+y+3≥2$\sqrt{xy}$+3，
整理可得（$\sqrt{xy}$）²-2$\sqrt{xy}$-3≥0，
解得$\sqrt{xy}$≥3，或$\sqrt{xy}$≤-1（舍去）
∴xy≥9，当且仅当x=y=3时取等号，
故答案为：9

点评 本题考查基本不等式求最值和不等式的解法，属基础题．