Question

16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，且bsin（A-C）-csin（A-B）=a．
（1）求B与C的大小；
（2）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，化简求解三角形为等腰三角形，利用二倍角公式求出A，然后求解B、C的值．
（2）求出三角形边长，然后求解三角形的面积．

解答 解：（1）在△ABC中，bsin（A-C）-csin（A-B）=a，可得sinBsin（A-C）=sinCsin（A-B），
sinBsinAcosC-sinBcosAsinC=sinCsinAcosB-sinCcosAsinB．
可得sinBsinAcosC=sinCsinAcosB，
即：sinBcosC=cosBsinC，
可得sin（B-C）=0，
∴B=C，三角形是等腰三角形．
sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，
可得sin²$\frac{A}{2}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$，
cosA=1-2sin²$\frac{A}{2}$=1-2×$\frac{2-\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{4}$，
则B=C=$\frac{3π}{8}$．
（2）由（1）A=$\frac{π}{4}$，
可得$\frac{a}{sinA}=2R$，a=2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\sqrt{2}$，
sin$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$，
可得cos$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$，tan$\frac{A}{2}$=$\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$，
A到BC边上的高为：$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{tan\frac{A}{2}}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
三角形的面积为：$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．