Question

14．已知等腰三角形的周长是21（定数），问它的腰多长其面积为最大？并求其最大的面积．

Answer 1

分析 设△ABC的腰长为x，底边长为2y．（x＞y）．则2x+2y=21，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}×2y•\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}y\sqrt{441-84y}$，令$\sqrt{441-84y}$=t＞0，则y=$\frac{441-{t}^{2}}{84}$．可得S_△ABC=$\frac{1}{168}×（441t-{t}^{3}）$=f（t）．利用导数研究函数的单调性极值最值即可得出．

解答 解：设△ABC的腰长为x，底边长为2y．（x＞y）．
则2x+2y=21，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×2y•\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}$=y$\sqrt{（\frac{21-2y}{2}）^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}y\sqrt{441-84y}$，
令$\sqrt{441-84y}$=t＞0，则y=$\frac{441-{t}^{2}}{84}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{441-{t}^{2}}{84}$t=$\frac{1}{168}×（441t-{t}^{3}）$=f（t）．
f′（t）=$\frac{1}{168}（441-3{t}^{2}）$=$\frac{1}{56}$$（\sqrt{147}+t）（\sqrt{147}-t）$，
令f′（t）＞0，则$0＜t＜\sqrt{147}$，此时函数f（t）单调递增；令f′（t）＜0，则t$＞\sqrt{147}$，此时函数f（t）单调递减．
∴当t=$\sqrt{147}$时，函数f（t）取得最大值，
∴此时y=$\frac{441-147}{84}$=$\frac{7}{2}$，x=7．
∴x=7，y=$\frac{7}{2}$时，△ABC取得面积最大值，为：$\frac{7\sqrt{6}}{4}$．

点评 本题考查了等腰三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．