Question

16．已知动点P、Q都在曲线$C：\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=2sinβ\end{array}\right.$（β为参数）上，对应参数分别为β=α与β=2α（0＜α＜2π），M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．

Answer 1

分析 （1）利用参数方程与中点坐标公式即可得出；
（2）利用两点之间的距离公式、三角函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），
因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）．
M的轨迹的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=cosα+cos2α\\ y=sin2α+sinα\end{array}\right.（α$为参数，0＜α＜2π）．
（2）M点到坐标原点的距离d=$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=\sqrt{2+2cosα}$（0＜α＜2π）．
当α=π时，d=0，故M的轨迹过坐标原点．

点评 本题考查了参数方程与中点坐标公式、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．