Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C与底面ABC所成的角为

π

4

，AB=BC=

2

，∠ABC=

π

2

，设E、F分别AB、A₁C的中点
（Ⅰ）求证：BC⊥A₁E
（Ⅱ）求证：EF∥平面BCC₁B₁
（Ⅲ）求以EC为棱，B₁EC与BEC为面的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，根据直线和平面垂直的判定定理证得BC⊥平面AB B₁A₁，从而证得BC⊥A₁E．
（Ⅱ）取B₁C之中点D，连FD，BD，证明四边形EFBD为平行四边形，可得EF

|| .

.

BD，再根据直线和平面平行的判定定理证得 EF||平面BCC₁B₁ ．
（Ⅲ）过B₁作B₁H⊥CE于H，连BH，可证∠B₁HB为二面角B₁-EC-B的平面角，由条件求得BH 和BB₁的值，再根据tan∠B₁HB=

B1B

BH

，计算求得结果．

解答：解：（Ⅰ）由已知有BC⊥AB，BC⊥B₁B，而AB∩B₁B=B，AB?是平面ABB₁A₁，
B₁B?平面AB B₁A₁，∴BC⊥平面ABB₁A₁．
又A₁E?平面AB B₁A₁，所以有BC⊥A₁E．
（Ⅱ）取B₁C之中点D，连FD，BD，∵F、D分别是AC、B₁C之中点，∴FD

|| .

.

1

2

A1B1

|| .

.

BE，
∴四边形EFBD为平行四边形，∴EF

|| .

.

BD，
又BD?平面BCC₁B₁，EF不在平面BCC₁B₁内，故有 EF||平面BCC₁B₁ ．
（Ⅲ）过B₁作B₁H⊥CE于H，连BH，又B₁B⊥平面ABC，B₁H⊥CE，∴BH⊥EC，
∴∠B₁HB为二面角B₁-EC-B的平面角．
在Rt△BCE中，有 BE=

1

2

AB=

2

2

，BC=2，CE=

BC2+BE2

=

10

2

，BH=

BE•BC

CE

=

10

5

．
又A₁C与底面ABC所成的角为

π

4

，∠A₁CA=

π

4

，∴BB₁=AA₁=AC=2，
所以，tan∠B₁HB=

B1B

BH

=

10

．

点评：本题主要考查直线和平面垂直的判定定理、直线和平面平行的判定定理的应用，求二面角的平面角的大小，属于中档题．