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设A、B、C、D是半径为 2的球面上的四个不同点,且满足
AB
AC
=0
AC
AD
=0
AD
AB
=0
,用S1、S2、S3分别表示△ABC、△ABD、△ACD的面积,则S1+S2+S3的最大值是
8
8
分析:由题意可知,三棱锥的顶点的三条直线AB,AC,AD两两垂直,可以扩展为长方体,对角线为球的直径,设出三度,表示出面积关系式,然后利用基本不等式,求出最大值.
解答:解:设AB=a,AC=b,AD=c,
因为AB,AC,AD两两互相垂直,
扩展为长方体,它的对角线为球的直径,所以a2+b2+c2=4R2=16
S1+S2+S3=
1
2
(ab+ac+bc )
1
2
(a2+b2+c2)=8,
当且仅当a=b=c时取等号,
即最大值为:8
故答案为8.
点评:本小题主要考查球内接多面体、基本不等式、长方体的特征等基础知识,考查运算求解能力,考查空间想象能力、化归与转化思想.属于基础题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

(选做题)本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲]
已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至点E.
求证:AD的延长线平分∠CDE
B.[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵A=
12
-14

(1)求A的逆矩阵A-1
(2)求A的特征值和特征向量.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
(t为参数),求直线l被曲线C截得的线段长度.
D.[选修4-5,不等式选讲](本小题满分10分)
设a,b,c均为正实数,求证:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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科目:高中数学 来源: 题型:

在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,共计20分.请在答题纸指定区域内 作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.如图,圆O的直径AB=6,C为圆周上一点,BC=3,过C作圆的切线l,过A作l的垂线AD,AD分别与直线l、圆交于点D、E.求∠DAC的度数与线段AE的长.
B.已知二阶矩阵A=
2a
b0
属于特征值-1的一个特征向量为
1
-3
,求矩阵A的逆矩阵.

C.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x轴的正半轴重合,曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3,直线l的参数方程为
x=-
3
t
y=1+t
(t为参数,t∈{R}).试求曲线C上点M到直线l的距离的最大值.
D.(1)设x是正数,求证:(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3
(2)若x∈R,不等式(1+x)(1+x2)(1+x3)≥8x3是否仍然成立?如果仍成立,请给出证明;如果不成立,请举出一个使它不成立的x的值.

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【选做题】在A,B,C,D四小题中只能选做2题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21-1.(选修4-2:矩阵与变换)
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
(1)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(2)求逆矩阵M-1以及椭圆
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲线的方程.
21-2.(选修4-4:参数方程)
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴.已知点P的直角坐标为(1,-5),点M的极坐标为(4,
π
2
),若直线l过点P,且倾斜角为 
π
3
,圆C以M为圆心、4为半径.
(1)求直线l关于t的参数方程和圆C的极坐标方程;
(2)试判定直线l和圆C的位置关系.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•黑龙江)选修4-4;坐标系与参数方程
已知曲线C1的参数方程是
x=2cos?
y=3sin?
(?为参数)
,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,
π
3
)

(1)求点A,B,C,D的直角坐标;
(2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

[选做题]在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.(选修4-1:几何证明选讲)
如图,圆O的直径AB=8,C为圆周上一点,BC=4,过C作圆的切线l,过A作直线l的垂线AD,D为垂足,AD与圆O交于点E,求线段AE的长.
B.(选修4-2:矩阵与变换)
已知二阶矩阵A有特征值λ1=3及其对应的一个特征向量α1=
1
1
,特征值λ2=-1及其对应的一个特征向量α2=
1
-1
,求矩阵A的逆矩阵A-1
C.(选修4-4:坐标系与参数方程)
以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系(两种坐标系中取相同的单位长度),已知点A的直角坐标为(-2,6),点B的极坐标为(4,
π
2
)
,直线l过点A且倾斜角为
π
4
,圆C以点B为圆心,4为半径,试求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程.
D.(选修4-5:不等式选讲)
设a,b,c,d都是正数,且x=
a2+b2
y=
c2+d2
.求证:xy≥
(ac+bd)(ad+bc)

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