Question

命题“?x∈[0，3]，使x²-2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：特称命题

专题：简易逻辑

分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．

解答： 解：∵命题“?x∈[0，3]时，满足不等式x²-2x+m≤0是假命题，
∴命题“?x∈[0，3]时，满足不等式x²-2x+m＞0”是真命题，
∴m＞-x²+2x在[0，3]上恒成立，
令f（x）=-x²+2x，x∈[0，3]，
∴f（x）_max=f（1）=1，
∴m＞1．
故答案为：（1，+∞）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．