Question

已知．.
（1）求函数在区间上的最小值；
（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；
(3) 证明对一切， 恒成立．

Answer 1

（1）见解析；（2）；（3）见解析.

试题分析：（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.
试题解析：⑴ ，当，，单调递减，
当，，单调递增．               1分
（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）
① ，t无解；                  2分
② ，即时，         3分
③ ，即时，在上单调递增，；
所以                     5分
由题可知:,则.因对于,恒成立，故,
设，则.
单调递增，单调递减.
所以，即.
问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)
由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.
设,则,易得,当且仅当时取到.
从而对于一切,都有恒成立.