Question

7．非零向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{b}$|=2，＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=30°，且对?λ＞0，且|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|恒成立，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（　　）

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据向量的数量积的运算以不等式恒成立，转化为2λ²-$\sqrt{3}$mλ-2+$\sqrt{3}$m≥0，根据二次函数的性质，得到△=3m²-4×2（$\sqrt{3}$m-2）≤0，求出m的值，再根据向量的数量积即可求出答案．

解答 解：对?λ＞0，且|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|恒成立，
∴|$\overrightarrow{a}$-λ$\overrightarrow{b}$|²≥|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²，
∴|$\overrightarrow{a}$|²+λ²|$\overrightarrow{b}$|²-2λ|$\overrightarrow{a}$||•$\overrightarrow{b}$|cos30°≥|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos30°，
设|$\overrightarrow{a}$|=m，
∴4λ²-2$\sqrt{3}$mλ≥4-2$\sqrt{3}$m，
即2λ²-$\sqrt{3}$mλ-2+$\sqrt{3}$m≥0，
∴△=3m²-4×2（$\sqrt{3}$m-2）≤0，
即（$\sqrt{3}$m-4）²≤0，
∴$\sqrt{3}$m-4=0，
即m=$\frac{4}{\sqrt{3}}$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|cos30°=$\frac{4}{\sqrt{3}}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4
故选：A．

点评 本题考查了不等式恒成立的问题，向量的数量积的运算，以及二次函数的取值情况和判别式△的关系，完全平方式的运用，属于中档题．