Question

已知向量

a

=（sinθ，cosθ-2sinθ），

b

=（1，3）
（1）若

a

∥

b

，求tanθ的值；
（2）若|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，求cos2θ的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角,三角函数中的恒等变换应用

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量共线定理的坐标表示即可得出；
（2）由|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，利用向量的平行四边形法则可得

a

⊥

b

，再利用向量垂直与数量积的关系及其三角函数的基本关系式即可得出．

解答： 解：（1）∵

a

∥

b

，
∴3sinθ-（cosθ-2sinθ）=0，化为5sinθ=cosθ，
∴tanθ=

1

5

．
（2）∵|

a

-

b

|=|

a

+

b

|，∴

a

⊥

b

，
∴

a

•

b

=sinθ+3（cosθ-2sinθ）=0，化为4sinθ=3cosθ，
又sin²θ+cos²θ=1，联立解得sinθ=±

3

5

．
∴cos2θ=1-2sin²θ=1-2×(±

3

5

)2=

7

25

．

点评：本题考查了向量共线定理的坐标表示即可得出、向量的平行四边形法则、向量垂直与数量积的关系及其三角函数的基本关系式，属于基础题．