Question

【题目】（12分）

已知函数.

（1）当时，判断函数的单调性；

（2）若函数处取得极大值，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）在上单调递减.

（2）.

【解析】分析：（1）由时，，求得，令，求得，利用求得的单调性，又由，得到，进而得到函数的单调性；

（2）由，求得，令，求得且，可分和和三种情况分类讨论，得到函数在处取得最大值，进而求得实数的取值范围.

解析：（1）当时，，则 ，

设，则，

当时，，时，，

所以函数在区间内单调递增，在区间内单调递减，

又，所以当时，，即，

所以函数在区间内单调递减.

（2）由已知得，则，

记，则，且，

①若，则当时，，所以函数在区间内单调递增，

且当时，，即，

当时，，即，

又，所以函数在处取得极小值，不满足题意.

②若，则，当时，，

故函数在区间内单调递增，且当时，，即，

当时，，即，又，

所以函数在处取得极小值，不满足题意.

③当时，则，由（1）知函数在区间内单调递减，

故函数在区间内单调递减，不满足题意，

④当时，，当，即，

故函数在区间内单调递减，且当时，，即，

当时，，即，又，

所以在处取得极大值，满足题意，

综上，实数的取值范围是.