Question

【题目】已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性；

（2）若不等式对于任意成立，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增. (2)

【解析】试题分析：（1）先求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性；（2）原题等价于对任意，有成立，设，所以.

试题解析：

（1）函数的定义域为，

，

若，则

当或时，单调递增；

当时，单调递减，

若，则

当时，单调递减；

当时，单调递增.

综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在和上单调递增.

（2）原题等价于对任意，有成立，

设，所以，

，

令，得；令，得，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

为与中的较大值，

设，

则，

所以在上单调递增，故，所以，

从而，

所以，即，

设，则，

所以在上单调递增，

又，所以的解为，

因为，所以正实数的取值范围为.