Question

1．如图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图．

（1）若F为PD的中点，求证：AF⊥面PCD；
（2）证明：BD∥面PEC；
（3）求该几何体的体积．

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形底边中线的性质可得AF⊥PD，再由已知证得CD⊥面PAD，进一步得到CD⊥AF，结合线面垂直的判定得答案；
（2）取PC的中点M，AC与BD的交点为N，连结MN、ME，可证得四边形BEMN为平行四边形，由此得到EM∥BN，再由线面平行的判定得BN∥面PEC，即BD∥面PEC；
（3）由三视图得到原几何体有关量，然后把原几何体的体积转化为两个棱锥：P-ABCD与P-BCE的体积求解．

解答 （1）证明：由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，
而且PA⊥面ABCD，PA∥EB，PA=AD=4，EB=2．
取PD的中点F，如图所示．
∵PA=AD，∴AF⊥PD，
又∵CD⊥DA，CD⊥PA，PA∩DA=A，∴CD⊥面ADP，
∴CD⊥AF．
又CD∩DP=D，∴AF⊥面PCD；
（2）证明：如图，取PC的中点M，AC与BD的交点为N，
连结MN、ME，如图所示．
∴$MN=\frac{1}{2}PA$，MN∥PA，∴MN=EB，MN∥EB，
∴四边形BEMN为平行四边形，
∴EM∥BN，又EM?面PEC，∴BN∥面PEC，
∴BD∥面PEC；
（3）解：$V={V_{P-ABCD}}+{V_{P-BCE}}=\frac{1}{3}•4•4•4+\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•4•4=\frac{80}{3}$．

点评 本题考查线面垂直、线面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．