Question

11．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$ax²-（2a+1）x+21nx．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对任意的a∈（-3，-2），x₁，x₂∈[2，4]，恒有（m+2）a一2ln2＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导令f′（x）＜0，对a进行讨论得出f′（x）＜0的解集即可得出f（x）的减区间；
（2）求出f（x）在[2，4]上的最值，得出（m+2）a一2ln2＞f（2）-f（4），再分离参数得出m＜$\frac{2}{a}-4$，从而得出m的最大值．

解答 解：（1）f′（x）=ax-2a-1+$\frac{2}{x}$=$\frac{a{x}^{2}-（2a+1）x+2}{x}$（x＞0）．
令f′（x）＜0得ax²-（2a+1）x+2＜0．
①若a=0，则2-x＜0，解得x＞2．
②若a≠0，△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²．
令ax²-（2a+1）x+2=0解得x₁=2，x₂=$\frac{1}{a}$．
当$\frac{1}{a}$＞2即0$＜a＜\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0的解集为（2，$\frac{1}{a}$），
当$\frac{1}{a}$＜0即a＜0时，f′（x）＜0的解集为（2，+∞），
当0$＜\frac{1}{a}＜2$时，即a$＞\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0的解集为（$\frac{1}{a}$，2），
当$\frac{1}{a}=2$即a=$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0无解．
综上，当a≤0时，f（x）的递减区间为（2，+∞），
当0$＜a＜\frac{1}{2}$时，f（x）的递减区间为（2，$\frac{1}{a}$），
当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）没有递减区间，
当a$＞\frac{1}{2}$时，f（x）的递减区间为（$\frac{1}{a}$，2）．
（2）由（1）可知当a∈（-3，-2）时，f（x）在[2，4]上单调递减．
∴当x₁，x₂∈[2，4]时，|f（x₁）-f（x₂）|≤f（2）-f（4）=2-2a-2ln2．
∴（m+2）a一2ln2＞2-2a-2ln2，
∵a∈（-3，-2），∴m＜$\frac{2}{a}$-4．
∵-5＜$\frac{2}{a}-4$＜-$\frac{14}{3}$．
∴m≤-5．

点评 本题考查了导数与函数单调性的关系，分类讨论思想，函数恒成立问题，属于中档题．