Question

16．已知函数f（x）=|2x+1|-|x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜1的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a-$\frac{a^2}{2}$+$\frac{5}{2}$有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （I）通过分类讨论去掉绝对值符号解不等式即可；
（II）关于x的不等式f（x）≤a-$\frac{a^2}{2}$+$\frac{5}{2}$有解?a-$\frac{a^2}{2}$+$\frac{5}{2}$≥f（x）_min．

解答 解：（Ⅰ）不等式|2x+1|-|x-1|＜1等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+x-1＜1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜1}\\{2x+1+x-1＜1}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{2x+1-（x-1）＜1}\end{array}}\right.$…（3分）
解得$-3＜x＜\frac{1}{3}$，
所以f（x）＜1的解集为$\{x|-3＜x＜\frac{1}{3}\}$…5分
（Ⅱ）若关于x的不等式$|2x+1|-|x-1|≤a-\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}$有解，
所以（|2x+1|-|x-1|）_min≤$a-\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}$，即$\frac{3}{2}≤a-\frac{a^2}{2}+\frac{5}{2}$，…（8分）
得-2≤a≤4…（10分）

点评 本题考查了通过分类讨论去掉绝对值符号解不等式、求最小值等基础知识与基本方法，属于中档题．