Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a}{x}$-xlnx（a∈R），g（x）=2x³-3x²．
（1）若m为正实数，求函数y=g（x），x∈[$\frac{1}{m}$，m]上的最大值和最小值；
（2）若对任意的实数s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≤g（t），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可；
（2）求出g（x）的最小值，问题转化为a≤x²lnx+x恒成立，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，令h（x）=x²lnx+x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）g（x）=2x³-3x²，g′（x）=6x（x-1），
令g′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
若m＞0，$\frac{1}{m}$＜m，则m＞1，$\frac{1}{m}$＜1，
∴g（x）在[$\frac{1}{m}$，1）递减，在（1，m]递增，
∴g（x）_min=g（1）=-1，g（x）_max=g（$\frac{1}{m}$）=$\frac{2}{{m}^{3}}$-$\frac{3}{{m}^{2}}$或g（m）=2m³-3m²；
（2）若对任意的实数s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，都有f（s）≤g（t），
即f（s）_max＜g（t）_min，s，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
由（1）g（t）在[$\frac{1}{2}$，2]的最小值是-1，
只需$\frac{a}{x}$-xlnx≤-1即可，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
等价于a≤x²lnx-x恒成立，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
令h（x）=x²lnx-x，x∈[$\frac{1}{2}$，2]，
显然h（x）在x∈[$\frac{1}{2}$，2]上递增，
h（x）_min=h（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2，
故a≤-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$ln2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．