Question

如图，直角△ABC中，∠C=90°，AB=2

5

，sinB=

5

5

，点P为边BC上一动点，PD∥AB，PD交AC于点D，连结AP．
（1）求AC、BC的长；
（2）设PC的长为x，△ADP的面积为y．当x为何值时，y最大，并求出最大值．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）在Rt△ABC中，根据角的正弦的定义建立等式求出AC，再由勾股定理求BC；
（2）根据题设建立起面积的函数，再由函数的性质求出最大值即可．

解答： 解：（1）在Rt△ABC中，sinB=

5

5

，AB=2

5

，得

AC

AB

=

5

5

，∴AC=2，根据勾股定理得：BC=4．
（2）∵PD∥AB，∴△ABC∽△DPC，∴

DC

PC

=

AC

BC

=

1

2

设PC=x，则DC=

1

2

x，AD=2-

1

2

x
∴S△ADP=

1

2

AD•PC=

1

2

(2-

1

2

x)•x=-

1

4

x2+x=-

1

4

(x-2)2+1
∴当x=2时，y的最大值是1．

点评：本题考查了函数的应用及解直角三角形，最值问题一般的思路是建立其函数关系，由函数的性质求解．