Question

2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y²=2px（p是大于0的常数），过点A（-2，-4）且斜率为1的直线与C相交于点P₁和P₂，若|AP₁|，|P₁P₂|，|AP₂|成等比数列，则C的方程是y²=2x．

Answer 1

分析 由题意可设直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），代入抛物线的方程，运用韦达定理，再由等比数列的中项的性质，解方程可得p=1，进而得到抛物线的方程．

解答 解：设直线的方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
代入抛物线的方程可得$\frac{1}{2}$t²-4$\sqrt{2}$t+16=$\sqrt{2}$pt-4p，
即为$\frac{1}{2}$t²-（4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$p）t+16+4p=0，
判别式为△=（4$\sqrt{2}$+$\sqrt{2}$p）²-2（16+4p）＞0，
解得p＞0，
设|AP₁|=t₁，|P₁P₂|=|t₁-t₂|，|AP₂|=t₂，
即有t₁+t₂=8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p，t₁t₂=32+8p，
若|AP₁|，|P₁P₂|，|AP₂|成等比数列，即有
t₁t₂=|t₁-t₂|²=（t₁+t₂）²-4t₁t₂，
即为（t₁+t₂）²=5t₁t₂，
即有（8$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$p）²=5（32+8p），
解得p=1．则抛物线的方程为y²=2x．
故答案为：y²=2x．

点评 本题考查抛物线的方程的求法，注意设出直线的参数方程，联立直线方程和抛物线方程，运用韦达定理，考查等比数列的中项的性质，以及化简整理的运算求解能力，属于中档题．