Question

已知数列{a_n}的通项公式a_n=log_n+1（n+2）（n∈N₊），记J_n=a₁•a₂•a₃•…•a_n为数列{a_n}的前n项积．定义能使J_n为整数的正整数n为劣数，则在区间（1，2014）内所有的劣数和为（　　）

• A、2026
• B、2046
• C、1024
• D、1022

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：用换底公式与叠乘法把a₁•a₂•a₃…a_k化为log₂（k+2），再根据a₁•a₂•a₃…a_k为整数，得k=2ⁿ-2，由区间[1，2014]确定n的取值，求出在区间（1，2014）内所有的劣数和．

解答： 解：∵a_n=log_n+1（n+2），（n∈N^*），
∴a₁•a₂•a₃…a_k=

lg3

lg2

•

lg4

lg3

•…•

lg(k+2)

lgk+1

=log₂（k+2），
又∵a₁•a₂•a₃…a_k为整数，
∴k+2必须是2的n次幂（n∈N^*），即k=2ⁿ-2；
又k∈[1，2014]，∴1≤2ⁿ-2≤2014，∴取2≤n≤10；
∴在区间（1，2014）内所有的劣数和：
M=（2²-2）+（2³-2）+（2⁴-2）+…+（2¹⁰-2）=

22-211

1-2

-2×9=2026．
故选：A．

点评：本题考查了新定义下的数列求和、换底公式以及叠乘法等知识，是易错题目．