Question

已知f（x）=2x³-6x²+a（a是常数）在[-2，2]上有最大值11，那么在[-2，2]上f（x）的最小值是（　　）

• A、-5
• B、-11
• C、-29
• D、-37

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：先求出函数的导数，再根据导数的符号可得函数的单调区间，再根据单调区间可得函数f（x）最大值为f（0）=a=11，求得a的值，f（x）的解析式，从而求得函数在[-2，2]上的最小值．

解答： 解：∵f（x）=2x³-6x²+a，∴f′（x）=6x²-12x=6x（x-2），
∴在[-2，0）上，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）为减函数．
故当x=0时，函数f（x）取得最大值为f（0）=a=11，即 a=11．
∴f（x）=2x³-6x²+11，再根据f（-2）=-29，f（2）=3，
可得函数在[-2，2]上f（x）的最小值是-29，
故选：C．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，二次函数的性质，属于中档题．