Question

【题目】若函数f（x）满足：在定义域D内存在实数x0 ， 使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）为“1的饱和函数”．给出下列四个函数：①f（x）= ；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cos（πx）．其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号为（ ）
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：对于①，若存在实数x0 ， 满足f（x0+1）=f（x0）+f（1）， 则 ，所以 ，
该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；
对于②，若存在实数x0 ， 满足f（x0+1）=f（x0）+f（1），
则 ，解得x0=1，因此②是“1的饱和函数”；
对于③，若存在实数x0 ， 满足f（x0+1）=f（x0）+f（1），
则 ，
化简得 =0，该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；
对于④，注意到 ，f（ ）+f（1）= ，
即f（ +1）=f（ ）+f（1），
因此是“1的饱和函数”，
综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④．
故选：B．
【考点精析】通过灵活运用函数的值，掌握函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法即可以解答此题．