Question

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c，已知a，b，c成等差数列，b=2．
（1）求△ABC面积的最大值；
（2）求sinAsinC的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,等差数列的通项公式

专题：解三角形

分析：（1）利用a，b，c成等差数列，b=2．结合余弦定理、基本不等式的性质，可求得B∈（0，

π

3

]，又△ABC面积S=

1

2

acsinB=

3sinB

1+cosB

=3tan

B

2

，即可得出；
（2）利用（1）h和正弦定理可得sinAsinC=

3sin2B

2(1+cosB)

=

3

2

(1-cosB)，而B∈（0，

π

3

]，即可得出．

解答： 解：（1）∵a，b，c成等差数列，b=2．∴a+c=2b=4．
由余弦定理可得：4=a²+c²-2accosB，
∴4=（a+c）²-2ac-2accosB，
∴ac=

6

1+cosB

≤(

a+c

2

)2=4，
可得cosB≥

1

2

，∴B∈(0，

π

3

]．
∴

B

2

∈(0，

π

6

]．
∴△ABC面积S=

1

2

acsinB=

3sinB

1+cosB

=3tan

B

2

≤3×tan

π

6

=

3

，当且仅当B=

π

3

，a=c=2时取等号．
∴△ABC面积的最大值为

3

．
（2）由（1）可得：ac=

6

1+cosB

，
由正弦定理可得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

，
∴a=

bsinA

sinB

，c=

bsinC

sinB

．
∴

b2sinAsinC

sin2B

=

6

1+cosB

，
化为sinAsinC=

3sin2B

2(1+cosB)

=

3

2

(1-cosB)，
由（1）可得cosB∈[

1

2

，1)．
∴sinAsinC∈(0，

3

4

]．

点评：本题考查了正弦定理与余弦定理的应用、基本不等式的性质、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．