Question

已知动点P在函数f（x）=-

4

x+2

的图象上，定点M（-4，-2），则线段PM长度的最小值是

 

．

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：函数的性质及应用,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：【解法一】设出点P（x，-

4

x+2

），列出|PM|的表达式，利用换元法，结合函数的导数，求出|PM|²的最小值；
【解法二】设切线方程斜率为k，根据k•k_MP=-1，求出p点坐标，从而得|MP|的最小值．

解答： 解：【解法一】根据题意，设点P（x，-

4

x+2

），
又M（-4，-2），
∴|PM|=

(x+4)2+(- 4 x+2 +2)2

；
设x+2=t（t≠0），
则|PM|²=（t+2）²+(2-

4

t

)2
=t²+4t-

16

t

+

16

t2

+8，
令f（t）=t²+4t-

16

t

+

16

t2

，
∴f′（t）=2t+4+

16

t2

-

32

t3

=

2t4+4t3+16t-32

t3

；
令f′（t）=0，得2t⁴+4t³+16t-32=0，
即t⁴+2t³+8t-16=0；
分解因式，得（t⁴+2t³-4t²）+（4t²+8t-16）=0，
∴t²（t²+2t-4）+4（t²+2t-4）=0，
即（t²+4）（t²+2t-4）=0；
∵t²+4≠0，
∴t²+2t-4=0，
解得t=-1±

5

；
∴当t=-1+

5

时，|PM|²=(1+

5

)2+(2-

4

-1+ 5

)2=12，
当t=-1-

5

时，|PM|²=(1-

5

)2+(2-

4

-1- 5

)2=12，
∴当t=-1±

5

时，|PM|²取得最小值12，
此时x=-3+

5

或x=-3-

5

；
∴|PM|长度的最小值是2

3

．
【解法二】∵f（x）=-

4

x+2

，
∴f′（x）=

4

(x+2)2

，
设符合条件的曲线f（x）上的切点为P（x₀，y₀），
则过该点的切线的斜率为k=

4

(x0+2)2

，
∴直线PM的斜率为k_PM=-

(x0+2)2

4

，
∴直线PM的方程为y+2=-

(x0+2)2

4

（x+4）；
则

y+2=- (x0+2)2 4 (x+4) y=- 4 x+2

，
∴点P（x₀，y₀）满足方程组，
即-

4

(x0+2)

+2=-

(x0+2)2

4

（x₀+4）；
设t=x₀+2，∴上式化为-

4

t

+2=-

t2

4

（t+2），
整理得t⁴+2t³+8t-16=0；
以下解答同解法一．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了求函数最值的应用问题，也考查了两点间的距离公式的应用问题，是综合性题目．