Question

【题目】设p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，q：实数x满足|x﹣3|＜1．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若其中a＞0且￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0

当a=1时，1＜x＜3，即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3．

由|x﹣3|＜1，得﹣1＜x﹣3＜1，得2＜x＜4

即q为真时实数x的取值范围是2＜x＜4，

若p∧q为真，则p真且q真，

∴实数x的取值范围是2＜x＜3

（2）解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣3a）（x﹣a）＜0，

若￢p是￢q的充分不必要条件，

则￢p￢q，且￢q￢p，

设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则AB，

又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，

B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，

则0＜a≤2，且3a≥4

∴实数a的取值范围是

【解析】（1）若a=1，根据p∧q为真，则p，q同时为真，即可求实数x的取值范围；（2）根据￢p是￢q的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．