Question

（2012•绍兴一模）已知函数f（x）=2asinxcosx-2bsin²x+b（a、b为常数，且a＜0）的图象过点（0，

3

），且函数f（x）的最大值为2．
（1）求函数y=f（x）的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）把函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位，使所得的图象关于y轴对称，求实数m的最小值及平移后图象所对应的函数解析式．

Answer 1

分析：（1）由倍角的正弦公式对解析式化简，再把条件：最大值和图象上点得坐标代入列出方程进行求出a和b，代入化简后的解析式，利用两角和的余弦公式化简，再由余弦函数的增区间和“整体思想”求解；
（2）由题意得平移后的函数应是余弦型的函数，再由（1）求出的解析式和平移法则求出m的最小值和解析式．

解答：解：（1）由题意得f（x）=asin2x-b（1-cos2x）+b=asin2x+bcos2x，
∴f（x）的最大值为

a2+b2

，即

a2+b2

=2  ①
∵图象过点（0，

3

），∴f(0)=b=

3

   ②，
由①②解得a²=1，又∵a＜0，∴a=-1，
∴f(x)=-sin2x+

3

cos2x=2cos(2x+

π

6

)，
由2kπ-π≤2x+

π

6

≤2kπ（k∈Z）得，kπ-

7π

12

≤xkπ-

π

12

，
∴y=f（x）的递增区间是[kπ-

7π

12

，kπ-

π

12

]（k∈z），
（2）把函数f(x)=2cos2(x+

π

12

)的图象向右平移

π

12

个单位，得y=2cos2x的图象关于y轴对称，所以正数m_min=

π

12

，
故平移后的图象对应的函数解析式为：y=2cos2x．

点评：本题考查了余弦函数性质的应用和三角函数图象的平移变换，以及倍角的正弦公式、两角和的余弦公式在化简解析式中的应用．