Question

2．某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[25，30），第2组[30，35），第3组[35，40），第4组[40，45），第5组[45，50），得到的频率分布直方图如图所示．下面是年龄的分布表：

区间	[25，30）	[30，35）	[35，40）	[40，45）	[45，50）
人数	28	a	b

（Ⅰ）求正整数a，b，N的值；
（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1，2，3组得员工人数分别是多少？
（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）

	喜欢阅读国学类	不喜欢阅读国学类	合计
男	14	4	18
女	8	14	22
合计	22	18	40

根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？
附：K²=$\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}$，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k0）	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率、频数与样本容量的关系求出a、b、N的值；
（Ⅱ）利用分层抽样原理计算各组应抽取的人数；
（Ⅲ）根据列联表计算K²的观测值，查表得出结论．

解答 解：（Ⅰ）总人数为：$N=\frac{28}{5×0.02}=280$，
且a=280×0.02×5=28，
第3组的频率是：1-5×（0.02+0.02+0.06+0.02）=0.4，
所以b=280×0.4=112；…（4分）
（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，
共有28+28+112=168（人），
利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：
第1组抽取的人数为$28×\frac{42}{168}=7$（人），
第2组抽取的人数为$28×\frac{42}{168}=7$（人），
第3组抽取的人数为$112×\frac{42}{168}=28$（人），
所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人．…（8分）
（Ⅲ）假设H₀：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，
求得K²的观测值$k=\frac{{40×{{（14×14-4×8）}^2}}}{22×18×22×18}≈6.8605＞6.635$，
查表得P（K²≥6.635）=0.01，
所以有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系．…（12分）

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是综合题．