Question

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V₁，四棱锥P-BDEF体积为V₂．求当PB取得最小值时的V₁：V₂值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO．
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF，
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面QBFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，所以BD⊥平面POA．
（Ⅱ）连接OB，设AO∩BD=H．
由（Ⅰ）知，AC⊥BD．
∵∠DAB=60°，BC=4，
∴BH=2，CH=2

3

．
设OH=x（0＜x＜2

3

）．
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，故△POB为直角三角形．
∴PB²=OB²+PO²=（BH²+OH²）+PO²，
∴PB²=2（x-

3

）²+10．
当x=

3

时，PB取得最小值，此时O为CH中点．
∴S_△CEF=

1

4

S△BCD，
∴S_梯形BDEF=

3

4

S△BCD=

3

4

S△ABD，
∴

V1

V2

=

S△ABD

S梯形BDEF

=

4

3

∴当PB取得最小值时，V₁：V₂的值为4：3．