Question

如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上异于A、B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB、PC上的射影分别为点E、F．
（1）求证：PB⊥平面AFE；
（2）若AB=4，PA=3，BC=2，求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P、A、B、C都在此球面上）的体积之比．

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥面ABC，BC?面ABC，
∴BC⊥PA，又AB是圆O的直径，∴BC⊥AC
所以BC⊥面PAC，又因AF?面PAC，
所以AF⊥BC，又因AF⊥PC，
所以AF⊥面PBC，又因PB?面PBC，
所以PB⊥AF，又因PB⊥AE，所以PB⊥面AFE．（5分）
（2）VC-PAB=VP-ABC=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

1

2

×AC•BC•PA=2

3

，
取PB的中点M，由直角三角形性质得，PM=AM=BM=CM，故三棱锥的外接球球心为M，
其半径为

1

2

PB=

5

2

，所以V球M=

4

3

π(

5

2

)3=

5π

6

，体积之比为

12 3

5π

．（10分）