Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分

已知数列的首项为，记().

（1）若为常数列，求的值；

（2）若为公比为的等比数列，求的解析式；

（3）是否存在等差数列，使得对一切都成立?若存在，求出数列的通项公式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）15，（2）（3）存在

【解析】

试题分析：（1）根据题意，，由组合数的性质将其变形，再利用二项式定理进行求值; (2)对于恒成立的问题，常用到以下两个结论：

（1），（2）

试题解析：（1）∵为常数列，∴.

∴ 4分

（2）∵为公比为的等比数列，∴. 6分

∴，

∴， 8分

故. 10分

（3）假设存在等差数列，使得对一切都成立，设公差为，则 12分

且，

相加得 ，

∴

.

∴恒成立，

即 恒成立，∴. 15分

故能为等差数列，使得对一切都成立，它的通项公式为 16分

（也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分）.

考点：二项式定理与数列的综合.