Question

如图，F₁，F₂是离心率为的椭圆C：(a＞b＞0)的左、右焦点，直线：x＝－将线段F₁F₂分成两段，其长度之比为1 : 3．设A，B是椭圆C上的两个动点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，线段AB的中点M在直线l上．

(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 求的取值范围．

Answer 1

(1)
(2)的取值范围为[，）．

解析试题分析：(Ⅰ) 设F₂(c，0)，则
＝，
所以c＝1．
因为离心率e＝，所以a＝．
所以椭圆C的方程为．                  5分

(Ⅱ) 当直线AB垂直于x轴时，直线AB方程为x＝－，此时P(，0)、Q(,0)
．
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k，M(－，m) (m≠0)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由  得
(x₁＋x₂)＋2(y₁＋y₂)＝0，
则－1＋4mk＝0，
故k＝．
此时，直线PQ斜率为，PQ的直线方程为
．
即  ．
联立 消去y，整理得
．
所以，．
于是(x₁－1)(x₂－1)＋y₁y₂



．
令t＝1＋32m²，1＜t＜29，则
．
又1＜t＜29，所以
．
综上，的取值范围为[，）．     13分
考点：椭圆的性质以及直线于椭圆的位置关系
点评：解决的关键是根据椭圆的几何性质来得到其方程，然后结合联立方程组来得到向量的坐标关系式，进而通过向量的数量积来得到结论，属于中档题。