【题目】已知(
且
)在区间
上的最大值与最小值之和为
,
,其中
.
(1)直接写出的解析式和单调性;
(2)若对
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设,若
,使得对
,都有
,求实数
的取值范围.
【答案】(1),减函数;(2)
;(3)
.
【解析】
(1)分和
两种情况讨论函数
在区间
上单调性,得出
,可解出实数
的值,并判断出函数
的单调性;
(2)由,可得出
对任意的实数
恒成立,由参变量分离法得出
,求出
的取值范围,即可得出实数
的取值范围;
(3)由题意可得,求出函数
在区间
上的最大值,然后分
与
的大小关系,求出函数
在区间
上最大值
,然后解出不等式
即可得出实数
的取值范围.
(1)当时,函数
在区间
上为增函数;
当时,函数
在区间
上为减函数.
由题意可得,即
,
且
,解得
,
,则函数
为减函数;
(2)由(1)可得,由
,即
,即
,即
对任意的
恒成立,即
.
,
,
,因此,实数
的取值范围是
;
(3)函数
在区间
上单调递减,则
.
由题意可得,.
二次函数的图象开口向上,对称轴为直线
.
当时,且当
时,
,则
,解得
,此时
;
当时,且当
时,
,则
,解得
,此时
.
综上所述,实数的取值范围是
.
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【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
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【题目】如图,已知椭圆C:的离心率为
,并且椭圆经过点P(1,
),直线l的方程为x=4.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆内一点E(1,0),过点E作一条斜率为k的直线与椭圆交于A,B两点,交直线l于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数,使得k1+k2=
k3?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在三棱锥中,
两两垂直,
,平面
平面
,且
与棱
分别交于
三点.
(1)过作直线
,使得
,
,请写出作法并加以证明;
(2)若α将三梭锥P﹣ABC分成体积之比为8:19的两部分(其中,四面体P1A1B1C的体积更小),D为线段B1tC的中点,求直线P1D与平面PA1B1所成角的正弦值.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1AB
AC
2,AB⊥AC,M是棱BC的中点点P在线段A1B上.
(1)若P是线段A1B的中点,求直线MP与直线AC所成角的大小;
(2)若是
的中点,直线
与平面
所成角的正弦值为
,求线段BP的长度.
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【题目】中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思,关于“刍童”体积计算的描述,《九章算术》注曰:“倍上袤,下袤从之,亦倍下袤,上袤从之,各以其广乘之,并,以高乘之,皆六而一.”其计算方法是:将上底面的长乘二,与下底面的长相加,再与上底面的宽相乘,将下底面的长乘二,与上底面的长相加,再与下底面的宽相乘;把这两个数值相加,与高相乘,再取其六分之一.已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形,上底面矩形的长为3,宽为2,“刍童”的高为3,则该“刍童”的体积的最大值为
A. B.
C. 39 D.
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【题目】关于函数,下列判断正确的是( )
A. 有最大值和最小值
B. 的图象的对称中心为
(
)
C. 在
上存在单调递减区间
D. 的图象可由
的图象向左平移
个单位而得
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【题目】空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的质量指数.空气质量按照AQI大小分为六级:0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如图.利用该样本估计该地本月空气质量优良()的天数(按这个月总共30天计算)为________.
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【题目】已知函数.
(1)若函数的图象在
处的切线经过点
,求
的值;
(2)是否存在负整数,使函数
的极大值为正值?若存在,求出所有负整数
的值;若不存在,请说明理由.
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