Question

6．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），设函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
（1）求函数f（x）在（0，π）上的单调增区间；
（2）在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，A为锐角，若f（A）=0，sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinC，C=$\sqrt{3}$，求边a的长．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量数量积的运算、倍角公式、和差公式可得f（x），再利用正弦函数的单调性即可得出．
（2）由（1）及f（A）=0，可得sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，结合范围A∈（0，$\frac{π}{2}$），可求A，利用正弦定理可得b=$\sqrt{3}$c，进而可求b，利用余弦定理即可得解a的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，-cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$cosx，cosx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$．
∴f（x）=a•b=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{1}{2}$=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，…2分
∵x∈（0，π），∴2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
由2x-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），或2x-$\frac{π}{6}$∈（$\frac{3π}{2}$，$\frac{11π}{6}$），解得：x∈（0，$\frac{π}{3}$），或x∈（$\frac{5π}{6}$，π），
∴函数f（x）在（0，π）上的单调增区间为（0，$\frac{π}{3}$），或（$\frac{5π}{6}$，π）…6分
（2）∵f（A）=sin（2A-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=0，
∴sin（2A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{6}$，…8分
∵sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinC，
∴sinB=$\sqrt{3}$sinC，由正弦定理可得b=$\sqrt{3}$c，
又∵c=$\sqrt{3}$，可得：b=3，
∴a²=b²+c²-2bccosA=3²+3-2×$3×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
∴解得：a=$\sqrt{3}$…12分

点评 本题主要考查了平面向量数量积的运算、倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性、正弦定理、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．