Question

2．若关于x的方程e^2x+ae^x+1=0有解，则实数a的取值范围是（-∞，-2]．

Answer 1

分析 可分离出a，转化为函数f（x）=$\frac{-{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$的值域问题，令e^x=t，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．

解答 解：关于x的方程e^2x+ae^x+1=0有解，可得a=$-\frac{{e}^{2x}+1}{{e}^{x}}$，令e^x=t（t＞0），
则$\frac{-{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$=-$\frac{{t}^{2}+1}{t}$=-（t+$\frac{1}{t}$）
因为t+$\frac{1}{t}$≥2，所以$\frac{-{e}^{2x}-1}{{e}^{x}}$≤-2，当且仅当x=0时取等号．
所以a的范围为（-∞，-2]
故答案为：（-∞，-2]．

点评 本题考查方程有解问题、基本不等式求最值问题，同时考查转化思想和换元法．