Question

7．已知△ABC中，角A，B，C所对的边依次为a，b，c，其中b=2．
（Ⅰ）若asin2B=$\sqrt{3}$bsinA，求B；
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据二倍角公式和正弦定理可得cosB，继而求出B，
（Ⅱ）据题意得出，b²=ac，利用余弦定理，基本不等式求解cosB≥$\frac{1}{2}$，根据余弦函数的单调性得出答案

解答 解：（Ⅰ）由$asin2B=\sqrt{3}bsinA$，得$2asinBcosB=\sqrt{3}bsinA$，
由正弦定理得 $2sinAsinBcosB=\sqrt{3}sinBsinA$，
得$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
又∵B∈（0，π），
∴$B=\frac{π}{6}$，
（Ⅱ）若a，b，c成等比数列，则有b²=ac=4，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}≥\frac{{2ac-{b^2}}}{2ac}=\frac{1}{2}$，当且仅当a=c=2时等号成立，
∵y=cosx在（0，π）单调递减，且$cos\frac{π}{3}=\frac{1}{2}$，
∴B的最大值为$\frac{π}{3}$．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}acsinB=2sinB$，
当$B=\frac{π}{3}$时，△ABC面积取得最大值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理和三角形的面积公式，运用余弦定理，基本不等式求解，属于中档题．