Question

当钝角△ABC的三边a，b，c是三个连续整数时，则△ABC外接圆的半径为

8 15

15

．

Answer 1

分析：由题意设出钝角三角形的三边长分别为x，x+1，x+2，可得出x+2所对的角为钝角，设为α，利用余弦定理表示出cosα，将设出的三边代入，根据cosα小于0，得出x的范围，在范围中找出整数x的值，确定出三角形的三边长，进而确定出cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用正弦定理即可求出三角形ABC外接圆的半径．

解答：解：由题意得：钝角△ABC的三边分别为x，x+1，x+2，且x+2所对的角为钝角α，
∴由余弦定理得：cosα=

x2+(x+1)2-(x+2)2

2x(x+1)

=

x-3

2x

＜0，即x＜3，
∴x=1或x=2，
当x=1时，三角形三边分别为1，2，3，不能构成三角形，舍去；
当x=2时，三角形三边长分别为2，3，4，此时cosα=-

1

4

，
∴sinα=

1-cos2α

=

15

4

，
设△ABC外接圆的半径为R，根据正弦定理得：

4

15 4

=2R，
解得：R=

8 15

15

．
故答案为：

8 15

15

点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键．