Question

泉州是一个历史文化名城，它的一些老建筑是中西建筑文化的融合，它注重闽南式大屋顶与西式建筑的巧妙结合，具有独特的建筑风格与空间特征．为延续我市的建筑风格，在旧城改造中，计划对部分建筑物屋顶进行“平改坡”，并体现“红砖青石”的闽南传统建筑风格．现欲设计一个闽南式大屋，该大屋可近似地看作一个四棱柱和一个三棱柱的组合体，其直观图和三视图如图（单位：m）所示．

（Ⅰ）装在E、F处的路灯，夜间恰好能照到建筑物前的一条笔直的人行小道，试证明人行小道所在的直线与直线AB平行；
（Ⅱ）记建筑物内墙角所在直线与屋顶斜面ABFE所成的角为α，当x=

11

时，求sinα的值；
（Ⅲ）已知四棱柱部分的外部装修费平均300元/平方米，三棱柱部分的外部装修费平均400元/平方米，而且为视角美观，要求屋顶斜面四边形ABFE中，0.6≤

AE

AB

≤0.64，试估算该闽南式大屋外部装修的最少费用．（精确到万元，参考数据：

11

≈3.31，

399

≈19.99，

41

≈6.40．）

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,基本不等式

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知条件得AB?面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，由此能证明人行小道所在直线与直线AB平行．
（Ⅱ）以D′为原点，D′A′、D′C′、D′D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出sinα的值．
（Ⅲ）四棱柱部分的外部装修费用w₁=[4×10×（20-x）]×300，三棱柱部分的外部装修费用w₂=2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400，由此能求出该闽南式大屋外部装修的最少需要26万费用．

解答： （Ⅰ）证明：依题意，人行小道所在直线在面ABEF内，
∵AB∥A′B′，A′B′在地面上，AB∥在地面，
∵AB?面ABFE，面ABFE∩地面=人行小道，
∴人行小道所在直线与直线AB平行．
（Ⅱ）解：据三视图知，AB=10，A′A=20-

11

，
以D′为原点，D′A′、D′C′、D′D所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，
则A(10，0，20-

11

)，B（10，10，20-

11

），E（5，0，20），
∴

AB

=(0，10，0)，

AE

=(-5，0，

11

)，
设

n

=(x0，y0，z0)为平面ABFE的法向量，
则

n • AB =10y0=0 n • AE =-5x0+ 11 z0=0

，取x0=

11

，得

n

=(

11

，0，5)．
取建筑物内墙角所在直线的方向向量为

m

=(0，0，1)，
则sinα=|cos＜

m

，

n

＞|=

5

11+25

=

5

6

．
（Ⅲ）解：四棱柱部分的外部装修费用w₁=[4×10×（20-x）]×300，
三棱柱部分的外部装修费用w₂=2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400
∴该闽南式大屋外部装修费用w（x）=w₁+w₂
=[4×10×（20-x）]×300+2×10×

x2+25

×400+2×

10×x

2

×400
=8000(30-x+

x2+25

)，
令0.6≤

x2+25

10

≤0.64，解得

11

≤x≤

399

5

，
∵-x+

x2+25

=

25

x+ x2+25

在[

11

，

399

5

]单调递减，
∴当x=

399

5

时，w（x）取得最小值，
∵题设要求装修费用精确到万元，∴取x=4，
得w（x）=8000(30-4+

41

)≈8000（26+6.4）≈259200≈260000．
∴该闽南式大屋外部装修的最少需要26万费用．

点评：本题考查人行小道所在的直线与直线AB平行，考查线面角正弦值的求法，考查闽南式大屋外部装修的最少费用的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．