Question

已知抛物线C：x²=2y．
（Ⅰ）若P为直线l：x-y-1=0上的动点，过P作抛物线C的两条切线，切点为A、B，求证：直线AB恒过定点Q，并求出Q点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线PQ交抛物线C于M，N两点，求证：|PM|•|QN|=|QM|•|PN|

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）先设出切点坐标A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用导数的几何意义求以A、B为切点的切线方程，再设出P（x₀，x₀-1），代入两条切线方程，得x₀-1=x₀x₁-y₁．x₀-1=x₀x₂-y₂．故直线AB的方程为x₀-1=x₀x-y，过定点（1，1）
（Ⅱ）先写出直线PQ的方程，代入抛物线方程，得关于x的一元二次方程，为利用韦达定理准备条件，再设M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），再2x₃x₄-（1+x₀）（x₃+x₄）+2x₀=0，最后利用韦达定理将x₃+x₄和x₃x₄代入即可得证．

解答： 解：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，x₀-1），由x2=2y，得y′=x．因此y′|x=x1=x1
抛物线C在点A处的切线方程为y-y₁=x₁（x-x₁），即y=x₁x-y₁．…（4分）
而A点处的切线过点P（x₀，x₀-1），所以x₀-1=x₁x₀-y₁，
即（x₁-1）x₀+1-y₁=0．同理，（x₂-1）x₀+1-y₂=0．
可见，点A、B在直线（x-1）x₀+1-y=0上．令x-1=0，1-y=0，解得x=y=1，
所以，直线AB过定点Q（1，1）；
（Ⅱ）设P（x₀，x₀-1），M（x₃，y₃），N（x₄，y₄），
直线PQ的方程为y=

(x0-1)-1

x0-1

(x-1)+1，即y=

x0-2

x0-1

x+

1

x0-1

．
由

y= x0-2 x0-1 x+ 1 x0-1 x2=2y

，消去y，
得x2-

2(x0-2)

x0-1

x-

2

x0-1

=0．
由韦达定理，x3+x4=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

．
而|PM|•|QN|=|QM|•|PN|?

|PM|

|PN|

=

|QM|

|QN|

? x3-x0 x4-x0 = 1-x3 x4-1 ?(x3-x0)(x4-1)=(x4-x0)(1-x3) ?2x3x4-(x3+x4)-x0(x3+x4)+2x0=0(*)

将x3+x4=

2(x0-2)

x0-1

，x3x4=-

2

x0-1

代入方程（*）的左边，得
（*）的左边=-

4

x0-1

-

2(x0-2)

x0-1

-

2x0(x0-2)

x0-1

+2x0=

-4-2x0+4-2 x 2 0 +4x0+2 x 2 0 -2x0

x0-1

=0
因而有|PM|•|QN|=|QM|•|PN|．

点评：本题考察了抛物线的切线方程，直线与抛物线相交的性质，解题时要特别注意韦达定理在解题时的重要运用，还要有较强的运算推理能力．