Question

对于三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x₀，则称点（x₀，f（x₀））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现：“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现作为条件．
（1）函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心为

 

．
（2）若函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

+

1

x- 1 2

，则g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=

 

．

Answer 1

考点：导数的运算

专题：导数的概念及应用

分析：（1）根据函数f（x）的解析式求出f′（x）和f″（x），令f″（x）=0，求得x的值，由此求得函数f（x）=x³-3x²+3x的对称中心，
（2）求出原函数的导函数，再求出导函数的导函数，由导函数的导函数等于0求出x的值，

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x³-3x²+3x，∴f′（x）=3x² -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x³-3x²+3x对称中心为（1，2），
（2）依题意，得：f′（x）=x²-x+3，∴f″（x）=2x-1．
由f″（x）=0，即2x-1=0．
∴x=

1

2

，
∴f（

1

2

）=1，
∴函数g（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+3x-

5

12

对称中心为（

1

2

，1），
∴f（1-x）+f（x）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2013

2014

）=g（

2

2014

）+g（

2012

2014

）=…=2f（

1007

2014

）=2，
∴g（

1

2014

）+g（

2

2014

）+g（

3

2014

）+…+g（

2013

2014

）=2013
故答案为：（1）（1，1）；（2）2013．

点评：本题主要考查函数与导数等知识，考查化归与转化的数学思想方法，考查化简计算能力，函数的对称性的应用，属于中档题．