Question

给出以下五个命题：
①若直线l∥直线a，a?β，则l∥β；
②如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥平面γ；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是真命题；
④命题p：“?x₀∈R，使得x₀²+x₀+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”；
⑤设函数f（x）=e^x，g（x）=lnx+m，对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，则m＜e-ln2．
其中正确的命题序号为

 

．（将你认为正确的命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：导数的综合应用,简易逻辑

分析：①利用空间中直线与平面的位置关系判断即可；
②利用线面垂直的判断定理与面面垂直的性质定理可判断②的正误；
③写出原命题的否命题，举例说明即可；
④利用全称命题与特称命题的关系可判断④的正误；
⑤依题意，可得f（x₁）_max＞g（x₂）_min，即e²＞ln2+m，解得m＜e²-ln2，从而可判断⑤的正误．

解答： 解：①若直线l∥直线a，a?β，则l∥β或l?β，故①错误；
②平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，则l⊥平面γ，正确．
理由如下：设α∩γ=m，β∩γ=n，不妨在平面γ内过点P作a⊥m，b⊥n，易知a⊥l，b⊥l，a∩b=P，a?γ，b?λ，于是l⊥平面γ；
③命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x₀）=0”的否命题是：“若f′（x₀）=0，则函数f（x）在x=x₀处有极值”为假命题，例如函数y=x³，f′（0）=0，但在x=0处无极值；
④命题p：“?x₀∈R，使得x₀²+x₀+1＜0”，则?p：“?x∈R，均有x²+x+1≥0”为真命题；
⑤∵f（x）=e^x与g（x）=lnx+m均为区间[1，2]上的增函数，依题意，对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[1，2]，使不等式f（x₁）＞g（x₂）成立，则f（x₁）_max＞g（x₂）_min，即e²＞ln2+m，解得m＜e²-ln2，故⑤错误．
综上所述，②④正确，
故答案为：②④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题间的关系、极值的概念及应用，空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系，考查分析判断及应用能力，属于难题．