Question

已知点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0）．直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1．
（1）求点M的轨迹E的方程；
（2）若过点H（0，h）（h＞0）的两直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，求h的值；
（3）在x轴上是否存在两个定点C，D，使得点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为

2

2

，若存在，求出定点C，D；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）设出M的坐标，利用斜率之积为-1，建立方程化简可得结论；
（2）分四种情况讨论，设出直线方程，利用直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，且l₁⊥l₂，建立方程，即可求h的值；
（3）假设存在，利用点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为

2

2

，建立等式，化简可求定点C，D．

解答： 解：（1）设M（x，y），则
∵点A，B的坐标分别是（-1，0），（1，0），直线AM、BM相交于点M，且它们的斜率之积为-1，
∴

y-0

x-(-1)

•

y-0

x-1

=-1(x≠±1)，化简得x²+y²=1（x≠±1）；
（2）分四种情况讨论．
①当直线l₁和l₂都与E相切时，直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，设直线l₁的方程为y=kx+h，即kx-y+h=0，
∵l₁⊥l₂，直线l₂的方程为x+ky-kh=0，
∵直线l₁和l₂都与E相切，∴

|h| 1+k2 =1 |-kh| 1+k2 =1

，解得h=

2

；
②当直线l₁过点A，直线l₂过点B时，直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，此时直线l₁的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=h，直线l₂的斜率k2=

h-0

0-1

=-h，
∵l₁⊥l₂，∴-h²=-1，∵h＞0，∴h=-1；
③当直线l₁过点A，直线l₂与E相切，直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，此时直线l₁的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=h，直线l₂的斜率为-

1

h

，
∴直线l₂的方程为y=-

1

h

x+h，即x+hy-h²=0，∴

|-h2|

1+h2

=1，∴h=

1+ 5 2

；
④当直线l₂过点B，直线l₁与E相切，直线l₁和l₂与轨迹E都只有一个交点，此时直线l₂的斜率k1=

h-0

0-(-1)

=-h，直线l₁的斜率为

1

h

，
∴直线l₁的方程为y=

1

h

x+h，即x-hy+h²=0，

|h2|

1+h2

=1，∴h=

1+ 5 2

，
综上所述，h的值为

2

，1，

1+ 5 2

；
（3）假设存在，设C（m，0），D（n，0），M（x，y），则
∵点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为

2

2

，
∴

(x-m)2+y2

(x-n)2+y2

=

1

2

，
∵x²+y²=1，
∴

1-2mx+m2

1-2nx+n2

=

1

2

，
∴（2n-4m）x+2+2m²-n²=0，
∴

2n-4m=0 2+2m2-n2=0

，∴

m=1 n=2

或

m=-1 n=-2

，
∴存在C（1，0），D（2，0）或C（-1，0），D（-2，0），使得点M到点C的距离与到点D的距离的比恒为

2

2

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查横成立问题，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．