Question

1．椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，其左焦点F₁到点P（2，1）的距离是$\sqrt{10}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=3截得的弦长为3，且l与椭圆E交于A，B两点，△AOB面积S的最大值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=3所截弦长为3，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可求得三角形的面积的最大值．

解答 解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{（2+c）^{2}+1}$=$\sqrt{10}$，
解得c=1，a=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为$\sqrt{3}$，
直线l：y=kx+m被圆O：x²+y²=3所截弦长为3，
即有3=2$\sqrt{3-{d}^{2}}$，解得d=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即有$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即为m²=$\frac{3}{4}$（1+k²），
直线l代入椭圆方程，可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则△=16k²m²-8（1+2k²）（m²-1）＞0，即为1+2k²＞m²，
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{16{k}^{2}{m}^{2}}{（1+2{k}^{2}）^{2}}-\frac{8（{m}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2（1+5{k}^{2}）}}{1+2{k}^{2}}$，
令1+2k²=t（t≥1），即k²=$\frac{t-1}{2}$，
则|AB|=$\frac{\sqrt{t+1}•\sqrt{\frac{5t-3}{2}}}{t}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{\frac{-3}{{t}^{2}}+\frac{2}{t}+5}$
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$•$\sqrt{-3（\frac{1}{t}-\frac{1}{3}）^{2}+\frac{16}{3}}$，
当t=3时，即k=±1时，|AB|取得最大值$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
则△AOB面积S=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{\sqrt{3}}{4}$|AB|，
即有k=±1，m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，注意运用离心率公式和两点的距离公式，考查直线与椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查学生的计算能力，属于中档题．